DÉRIVATION ET VARIATIONS
Dérivation et variations
La dérivée permet de d'étudier les variations d'une fonction sur son domaine de définition.
1. Dérivées et calcul de dérivées
2. Utilisation de la dérivée
En terminale ES, la dérivée sert à déterminer les variations de la fonction.
Pour être plus efficace :
Etape 1 : Factoriser les dérivées si besoin
Etape 2 : Rechercher le signe de chaque facteur
Etape 3 : Déterminer le signe dans un tableau de signe
Etape 4 : Lorsque \\(f⟩0)\\, f est croissante
Lorsque \\(f ⟨ 0)\\, f est d croissante
Lorsque \\(f=0)\\, f est constante
3. Tangente
Equation de la tangente de \\(f)\\ au point d'abscisse \\(a)\\
\\(y=f'\left(a \right)\left(x-a \right)+f\left(a \right))\\ \\(f'\left(a \right))\\ étant le coefficient directeur de la tangente \\(T)\\,
si \\(f'\left(a \right) ⟩ 0)\\, alors \\(T)\\ est croissante
4. Application économique de la dérivée
Lors du calcul d'un coût total ou du coût marginal
Coût marginal = (coût total)'
Prouver que \\(b)\\ est le coût marginal de \\(a)\\ consiste à dériver \\(a)\\ pour retrouver \\(b)\\.
5. Rappel sur le signe d'un trinôme du 2nd degré
On a un trinôme \\(a{x}^{2}+bx+c)\\ dans notre dérivée, pour déterminer son signe :
Etape 1 :
Calculer \\(\Delta ={b}^{2}-4ac)\\
Etape 2 :
- Soit \\(\Delta ⟨ 0)\\ pas de solution le polynme est toujours du signe a
- Soit \\(\Delta =0)\\ , le polynôme s'annule en 1 point \\({x}_{A}=\frac{-b}{2a})\\,
et est du signe de \\(a)\\ le reste du temps
- Soit , le polynôme s'annule en 2 points \\({x}_{A}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a};{x}_{B}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a})\\ et est du signe de \\(-a)\\ à l'intérieur des racines et du signe de \\(-a)\\ à l'extérieur des racines.
(Règle du compris, contraire)
