La géométrie dans l’espace
La géométrie dans l’espace
1. Comment représenter une droite ?
On souhaite représenter une droite D contenant un point \\(A\left( {x}_{a};{y}_{a};{z}_{a}\right))\\et de vecteur directeur \\(\vec{d}\left( a; b; c\right))\\
> Représentation par un vecteur
Soit le point M(x; y; z) appartenant à D ,
\\(\vec{AM}=\vec{td})\\
\\(t\in R)\\
> Représentation par des équations paramétriques
Cette représentation comporte tous les points de D .
Pour représenter un segment, il suffit de contraindre dans un ensemble plus réduit, par exemple : [-6;27]
2. Comment représenter un plan ?
On souhaite représenter un plan P dont on connait un point \\(A\left( {x}^{A};{y}^{A};{z}^{A}\right))\\et un vecteur normal \\(\vec{n}\left( a; b; c\right))\\.
Représenter ce plan consiste à représenter en équation tous les points M(x;y;z) du plan.
Ces points répondent à une équation cartésienne de la forme \\(ax+by+cz=0)\\ .
Etape 1 :
On pose \\(ax+by+cz+d=0)\\
a, b et c étant les coordonnées de \\(\vec{n})\\
Etape 2 :
On remplace x, y et z par les coordonnées de A, ce qui permet de calculer d par résolution d'équation.
Exemple :
\\(\vec{u})\\(1;4;1) et A(1;0;1)
Etape 1 :
L'équation est de la forme \\(1x+4y+1z+d=0)\\
Etape 2 :
On remplace x, y et z par les coordonnées de A soit :
\\(1*1+4*0+1*1+d=0)\\
\\(d=-2 )\\
L'équation de plan P est donc
\\(1x+4y+1z-2=01 )\\
Ou
\\(x+4y+z-2=0 )\\
3. Déterminer l'intersection de deux droites
Astuce 1 :
Les coordonnées d'un vecteur directeur de D et D' sont les coefficients attribués à "t" dans la représentation paramétrique.
Astuce 2 :
Résoudre D =D' revient à faire :
3 équations pour 2 inconnues.
On utilise les deux premières pour la résolution et la troisième pour vérifier la cohérence.
4. Déterminer l'intersection de deux plans
On souhaite étudier l'intersection de deux plans P et P' de vecteurs normaux n et n ' .
Astuce 1 :
Rechercher un point d'intersection revient à fixer les paramètres x, y et déterminer z pour trouver un point du premier plan.
On remplace ensuite les coordonnées trouvées dans l'équation du deuxième plan et on vérifie que cela fait bien 0.
Astuce 2 :
Pour résoudre
\\(\left\{\begin{matrix}
ax+by+cz+d=0\\
a'x+b'y+c'z+d'=0
\end{matrix}\right.)\\
La méthode par combinaison est la plus appropriée.
Le résultat doit être une équation et non un point.
5. Déterminer l'intersection de trois plans
On souhaite étudier l'intersection de 3 plans p, p ' et p'' de vecteurs normaux \\(\vec{n};\vec{n'};\vec{n''} )\\
